von OlbersD - 01.08.12 09:09 There exist infinitely many Pythagorean triples with square numbers for both the hypotenuse c and the sum of the legs a+b. The smallest such triple[11] has a = 4,565,486,027,761; b = 1,061,652,293,520; and c = 4,687,298,610,289. Here a+b = 2,372,1592 and c = 2,165,0172. This is generated by Euclid's formula with parameter values m = 2,150,905 and n = 246,792.

von OlbersD - 01.08.12 09:28 Uups, da waren die Quadrate verschwunden, weil nicht hochgestellt.

There exist infinitely many Pythagorean triples with square numbers for both the hypotenuse c and the sum of the legs a+b. The smallest such triple[11] has a = 4,565,486,027,761; b = 1,061,652,293,520; and c = 4,687,298,610,289. Here a+b = 2,372,159 x 2,372,159 and c = 2,165,017 x .2,165,017 This is generated by Euclid's formula with parameter values m = 2,150,905 and n = 246,792.

von OlbersD - 01.08.12 09:36 Also die Gleichung

(GP) a*a + b*b = c*c

hat für ganze Zahlen a,b und c größer eins und c kleiner 4.687.298.610.289, keine Lösung, sofern (a+b) und c Quadratzahlen sind.

Ok, dann gibt es eben keine Lösung, würde man denken. Aber welche Überraschung, es gibt sogar unendlich viele Lösungen.

von OlbersD - 01.08.12 09:41 Aber was sagt uns das für den Fermatschen Satz

a*a*a + b*b*b = c*c*c

habe für ganze Zahlen a,b,c größer null keine Lösung.

In der Tat hat noch niemand solche Zahlen gefunden. Aber was heißt dies schon. Es gibt wohlmöglich keine Lösung mit c kleiner 4,687,298,610,289. Aber das heißt noch gar nichts, siehe oben.

von OlbersD - 01.08.12 09:48 Also würde man alle möglichen Zahlen a,b kleiner 4,687,298,610,289 testen wollen, ob die dritte Wurzel aus (a*a*a + b*b*b) eine ganz Zahl ist, wäre der schnellste Computer nicht schnell genug.

von ripanti - 01.08.12 10:12 @OlbersD .... das ist heftig so früh am Morgen.

von OlbersD - 01.08.12 10:30 Ähnlich ist die Sache beim Vierfarbensatz. Da gibt es offenbar keine einfache Widerlegung mit wenigen Ländern. Aber es gibt doch Widerlegungen, da bin ich mir sicher.

von OlbersD - 02.08.12 11:28 Der Vierfarbensatz ist aber nicht einfach zu widerlegen, auch wenn es zunächst so scheint, weil die mittlere Anzahl an angrenzenden Ländern immer kleiner als sechs ist. In einem "regulären Mauerwerk" haben immer die Steine immer sechs Nachbarn (zwei oben und unten sowie links und rechts). Ffür die meisten sich wie in einem Kristall immer wiederholenden Strukturen gilt dies ebenfalls. Bei einer endlichen Ausdehnung ist die Zahl geringer, weil am Rand weniger Nachbarn liegen.

von OlbersD - 02.08.12 11:32 Für dieses Theorem, dass es im Mittel weniger als sechs Nachbarn gibt, wurde auch noch kein Beweis erbracht.

von OlbersD - 03.08.12 11:42 Wir versuchen mal zu überprüfen, ob es wirklich keine kleinen Lösungen gibt.

Wenn a*a + b*b = c*c dann gilt

a = k*(m*m-n*n), b=k*(2m*m), c=k(m*m+n*n)

Wir nehmen mal an k=1 und m

von OlbersD - 03.08.12 11:44 Ist x eine Quadratzehl?

def isq(x):
return math.sqrt(x) == math.floor(math.sqrt(x))

von OlbersD - 03.08.12 11:45 Für die kleinste Lösung ist n gerade und m ungerade. Wiir können uns auch überlegen, dass n durch drei teilbar sein muss.

for m in range(7,100000,2):
for n in range(6, m, 6):
if (isq((m*m-n*n) + 2*m*n)):
if (isq(m*m+n*n)):
print "counterexample found", m, n

von OlbersD - 03.08.12 11:47 Das bedeutet n= 6,12,18, ... kleiner m.

von OlbersD - 03.08.12 11:48 Für m größer 100000 wird die Überprüfung echt zeitaufwendig.

von OlbersD - 06.08.12 22:13 Der Vierfarbensatz ist falsch, aber sechs Farben reichen definitiv. Die mittlere Anzahl der angrenzenden Ländern ist kleiner sechs, so dass immer mindestens ein Land nur fünf Nachbarn hat. Bei sechs Farben und fünf Nachbarn wäre immer noch eine Farbe übrig. Gäbe es ein minimales Gegenbeispiel, das sieben Farben benötigt, könnten die Länder mit nur fünf Nachbarn auch einfach weggelassen werden, um ein Gegenbeispiel zu konstruieren mit noch weniger Ländern. Dies ist ein Widerspruch..

von OlbersD - 06.08.12 22:20 Auch fünf Länder reichen sicher. Gäbe es ein Gegenbeispiel wäre dort ein Land mit nur fünf Grenzläandern immer (bei allen möglichen Färbungen) immer von fünf verschieden Ländern umgeben. Fünf unterschiedlich gefärbte Länder können aber nicht von mehreren Ländern umgeben sein, so dass nicht ein Land umgefärbt werden könnte, behaupte ich einfach mal. Dann gäbe es auch wieder ein kleineres Gegenbeispiel.

von OlbersD - 06.08.12 22:20 Aber vier Farben reichen im Allgemeinen nicht.

von OlbersD - 07.08.12 10:11 Aber dass fünf Farben reichen ist natürlich ohnehin sonnenklar. Die Färbung kann mit folgendem simplen Algorithmus zur Färbung mit den Farben (1,2,3,4,5) erfolgen:

Ein Weg durch alle Länder wird festgelegt.

Die Farbe wird 1 gesetzt.

Die Färbung geginnt im ersten Land mit der aktuellen Farbe, der 1.

Wiederhole bis letztes Land erreicht:
Das nächste Land wird betreten
Die aktuelle Farbe wird 1 gesetzt
Der Farbwert wird so lange um eins erhöht bis kein Nachbar diese Farbe trägt
Das Land wird mit der aktuellen Farbe eingefärbt

von OlbersD - 07.08.12 10:15 Sollte es tatsächlich nicht aufgehen, gehen wir einen Schritt zurück und erhöhen die Farbe. Ist dies nicht möglich, gehen wir noch ein Land zurück, bis es möglich ist und setzen den Weg dann mit der nächsten Station fort.

von OlbersD - 07.08.12 12:18 Aber bei fünf Farben braucht wir nicht einmal zurückgehen. Wir beginnen in irgend einem Land Farbe 1. Dann durchlaufen wir die angrenzenden Länder dieses Landes. Die dann abwechselnd mit 2 und 3 gefärbt werden. Eventuell wird für das letzte der angrenzenden Länder noch die Farbe 4 gebrauch. Dann luafen wir um die an das erste Land angrenzenden Länder außer herum. Dort ist mindestens die Farbe 5 noch frei. Die meisten inneren Länder haben die Farben 2 und 3 und werden abwechseln mit 1 und 4 gefärbt. Nur für ein Land kann es vorkommen, dass die Farbe 5 gebraucht wird. Wir können dieses Spiel fortsetzen bis alle Länder eingefärbt sind. Fünf Farben reichen also immer.

von OlbersD - 07.08.12 12:24 Wir können dabei davon ausgehen, dass die Landkarte keine Lücken wie Wasser, Ausland oder ähnliches enthält, weil diese die Einfärbung offensichtlich nicht erschweren. Dann können wir die Karte mit der oben beschriebenen Methode der fortgesetzten Umrundung durchschreiten.

von OlbersD - 07.08.12 12:28 In jeder "Runde" genügen, bis eventuell auf die Ausnahme eines Landes, zwei Farben.

von OlbersD - 07.08.12 13:00 Bei nur vier Farben geht die Sache nicht immer auf. Für eine "Runde" mit einer ungeraden Zahl an Ländern werden mindestens drei Farben benötigt. Wenn die Farben 1 und 2 nicht zur Verfügung stehen, da sie im Innern liegen, kann eine Lösung höchstens nach Umfärbungen im Innern gefunden werden.

von OlbersD - 09.08.12 10:35 Doch am Rand funktioniert die Methode der fortgesetzen Umrundung nicht immer vollständig. Aber mit fünf Farben geht die Sache trotzdem immer auf. Der Weg durch alle Länder könnte außen beginnen und die Landkarte zunächst einmal umrunden. Dazu genügen in jedem Fall drei Farben. Die verbliebenen Länder im Innern bilden eine klinere Landkarte. für diese Runde genügen mit einer Ausnahme die beiden außen noch nicht verwendeten Farben. Mindestens ein Land dieses "inneren Kreises" grenzt aber nur an zwei der bereits ausgefüllten äußeren Länder. Dieses Land kann mit einer der außen bereits verwendeten Farben gefüllt werden. für die übrigen Länder des inneren Kreises genügen die beiden noch nicht verwendeten Farben. Damit ist der innere Kreis wieder mit drei Farben gefüllt. Jetzt können auf gleiche Weise noch weitere innere Kreise gefült werden bis die gesamte Karte ausgefüllt ist.

von OlbersD - 09.08.12 10:41 Doch am Rand funktioniert die Methode der fortgesetzen Umrundung nicht immer vollständig. Aber mit fünf Farben geht die Sache trotzdem immer auf. Der Weg durch alle Länder könnte außen beginnen und die Landkarte zunächst einmal umrunden. Dazu genügen in jedem Fall drei Farben. Die verbliebenen Länder im Innern bilden eine kleinere Landkarte. Für diese Runde genügen mit einer Ausnahme die beiden außen noch nicht verwendeten Farben. Mindestens ein Land dieses "inneren Kreises" grenzt aber nur an maximal zwei der bereits ausgefüllten äußeren Länder. Dieses Land kann mit einer der außen bereits verwendeten Farben gefüllt werden. Für die übrigen Länder des inneren Kreises genügen die beiden noch nicht verwendeten Farben. Damit ist der innere Kreis wieder mit drei Farben gefüllt. Jetzt können auf gleiche Weise noch weitere innere Kreise gefült werden bis die gesamte Karte ausgefüllt ist.

von OlbersD - 09.08.12 18:02 Hmmm, jetzt habe ich nochmal darüber nachgedacht. Also ich glaube echt langsam der Vierfarbensatz stimmt doch, weil das mit dem Ausfüllen von außen nach innen ähnlich wie oben funktioniert. Eventuell müssen noch in einzelnen Sektoren im äußeren Kreis Umfärbungen vorgenommen werden. Die sache ist etwas komplizierter aber ich glaube es funktioniert. Also der Vierfarbensatz stimmt doch - da habe ich mich wohl geirrt.

von OlbersD - 09.08.12 18:12 Ja, ich denke der äußerer Kreis, ein geteilter Rahmen, kann immer durch einen ungeteilten kompletten Rahmen ersetzt werden. Die Aufgabe wird dadurch nicht schwieriger.

von OlbersD - 09.08.12 18:31 Nochmal etwas genauer: Der äußere Kreis wird durch den inneren Kreis in Sektoren zerlegt. Mit eventuell einer Ausnahme können die einzelnen Sektoren im äußeren Kreis mit jeweils nur zwei Farben (1,2) oder (1,3) oder (2,3) gefüllt werden. Wenn alle Sektoren mit (1,2) gefüllt sind, kann bei gerader Anzahl der innere Kreis mit (3,4) also zwei Farben gefüllt werden. Die Farben können natürlich beliebig vertauscht werden. Mit welchen zwei Farben ein "Kreis" gefüllt wird spielt also keine Rolle.

Wenn die Kreise jeweils eine gerade Anzahl an Ländern enthalten ist die Färbung also problemlos.

von OlbersD - 09.08.12 19:00 Auch bei ungerader Zahl von Ländern gibt es nicht wirklich ein Problem. Im äußeren Kreis werden die Länder abwechseln rot und grün gefärbt. Bei einer ungeraden Zahl kommt es dann zu einer grün-grünen oder rot-roten Grenze. Kein Problem wir tauschen einfach einen Grünen mit einem Schwarzen oder einen Roten mit einm Scharzen. Der Schwarze kann an jeder Stelle im äußeren Kreis platziert werden. Im inneren Kreis hat mindens ein Land höchstens zwei Grenzen. Genau dort platzieren wir den Schwarzen im äußeren Kreis. Das kleine innere Land welches an das schwarze Land grenzt kann grün oder rot gefärbt werden. Die übrigen Ländern im inneren Kreis können abwechseln schwarz oder gelb gefärt werden. Da Speil kann beliebig oft für weitere innere Kreise fortgesetzt werden. Der Viorfarbensatz ist somit beweisen.

von OlbersD - 09.08.12 19:09 Ok, falls der innere Kreis (schwarz/gelb) weniger Länder hat als der äußere Kreis (rot-grün) könnte eventuell kein Land nur zwei ursprünglich rot-grünen Grenzländern haben. Dann gehen wir anders vor. Wir fügen zunächst innen einen Roten oder einen Grünen in den schwarz-gelb Kreis ein. Es gibt dann nämlich außen ein Land mit nur einem roten oder grünen Nachbarn.

von OlbersD - 09.08.12 19:26 Gebt es zu, so funktioniert es immer. Die die Karte wird außen nach innen in "Kreise" unterteilt. Ein Kreis wird mit eventuell einer Ausnahme mit zwei Farben abwechselnd gefüllt. Der innere Kreis wird auch mit eventuell einer Ausnahme mit den beiden anderen Farben gefäbt. Den äußeren Kreis bilden die Länder am Kartenrand. Den nächsten Kreis bilden die an den äußeren Kreis angrenzenden Länder. Die wird also ganz einfach, wenn die Länder in der richtigen Reihenfolge gefärbt werden..

von OlbersD - 09.08.12 19:28 Aber die Graphentheorie ist offenbar was für die Katz. Wenn diese Graphentheoretiker in mehr als einem Jahrhundert ohne Computer keinen Beweis hinbekommen haben, ist die Theorie offenbar Blödsinn.

von OlbersD - 09.08.12 20:49 Ok, der Beweis ist noch nicht ganz komplett. Ich bin mir aber sicher, es funktioniert immer relativ einfach nach der Einteilung der Landkarte in "Kreise" von außen nach innen.

von OlbersD - 09.08.12 23:07 Nebeneinander liegende Kreise: Es kann auch passieren, dass zum Beispiel ein Land vom Nordrand zum Südrand der Karte reicht. Dann zerfällt das Vierfarbenproblem in eine Ost und eine Westhälfte. Es gibt sozusagen nebenander liegende Kreise. Dies macht die Färbung auch nicht schwieriger.

von OlbersD - 10.08.12 09:10 Wenn ganz viele Länder angrenzen: Zunächst scheint es noch ein Problem zu geben, wenn einzelne Länder auf einem Kreis viele, mehr als drei, Nachbarn zum Beispiel ein Land im äußeren Kreis 100 Nachbarn im inneren Kreis haben. Wenn aber eine lange Reihe von Ländern in einem Kreis oben und znten abgedeckt wird, können immer zwei Länder entfernt werden, ohne dass es wirklich schwieriger wird mit der Färbung. Es stehen nämlich für diese Riehe mindestens zwei Farben zur Verfügung und sie können daher abwechseln mit diesen Farben gefärbt werden. Werden zwei entfernt ändert dies nichts. Aus (2n) können also null und aus (2n+1) eins gemacht werden.

von OlbersD - 10.08.12 10:42 Hier gibt es weitere Betrachtungen zum Thema Vierfarbensatz.

www.25uhr.de

von OlbersD - 11.08.12 11:05 Tatsächlich funktioniert die Färbung der "Kreise" nicht immer, wenn nur zwei Farben mit einer Ausnahme zugelassen wird. Ein "Kreis" kann aber in zwei Abschnitte eingeteilt werden in denen jeweils nur zwei Farben auftreten, schwarz-rot und und rot-grün zum Beispiel. Eine Farbe tritt dabei in beiden Abschnitten auf. Bei einer solchen Einteilung kann auch die Färbung eines inneren Kreises mit nur drei Ländern gelingen.

von OlbersD - 11.08.12 12:15 Also nehmen wir zum Beispiel drei Länder, die den äußeren Kreis oder eine dreigeteilte Umrandung der Landkarte bilden. Wenn die an den Rahmen grenzenden Länder nur zwei Farben hätten, geht es mit nur vier Farben nicht auf, weil die Umrandung drei Farben benötigt aber ohne die zwei inneren Farben nur noch zwei zur Verfügung stehen. Grenzt ein Teil der Umrandung aber an die Farben rot-grün und die beiden anderen an rot-schwarz dann kann das erste Teil der Umrandung schwarz, die beiden andren gelb und die beiden anderen grün und gelb gefärbt werden.

Die Sache geht immer auf, wenn zwei der drei Teile nur zwei Farben berühren und nur eines alle drei Farben des inneren Kreises..

von OlbersD - 11.08.12 12:36 Also wir nehmen einen mittleren Kreis den wir gedanklich zweiteilen in einen Bereich mit einer (1,2) Fäbung und ein zweiten Berich mit einer {1,3} Färbung. Ein Drittel (Färbung 3) des äußeren Kreises grenze an {1,2}, ein Drittel (Färbung 4) an {1,2,3} und ein Drittel (Färbung 2) an {1,3}.

von OlbersD - 11.08.12 12:38 Eine Grenze der Bereichr {1,2} und {1,3} muss mit einer Drittelgrenze zusammenfallen, die andere Grenze kann in der Mitte zwischen zwei Dritteln liegen.

von OlbersD - 11.08.12 13:03 Da nur eine der Drittelgrenzen mit den Bereichsgrenzen {1,2}/{1,3} übereinstimmen muss funktioniert dies auch mit zwei dreigeteilten äußeren und inneren "Kreisen".

von OlbersD - 11.08.12 15:58 Die Konstruktion mit den verschachtelten Kreisen funktioniert nicht immer vollständig, weil Lander auf dem "Kreis" mehr als zwei Länder auf diesem "Kreis" berühren. In diesem Fall zerfällt die Landkarte in Teilbereiche die getrennt gelöst werden können und dann, eventuell nach Vertauschung mehrer Farben in einzelnen Teilkarten.

von OlbersD - 13.08.12 10:02 Der vollständige Beweis durch unvollständigen Farbentausch:

Der Vierfarbensatz scheint zunächst höchst zweifelhaft. Wenn wir beginnen eine Landkarte auszumalen, dann kommen wir irgendwann nicht mehr mit drei Farben am Rand aus ohne große Umfärbungen zu machen und der Vierfarbensatz erscheint geradezu absurd, weil mit Hinzunahme eines Landes, dass die drei Farben abdeckt eine vierte Farbe am Rand erfordert und mit Einbeziehung der Umgabung fünf Farben benötigt werden. Dies ist jedoch falsch.

Wenn am Rand die vier Farben (1,2,3,4) hintereinander in dieser Reihenfolge liegen, dann können wir nach Umfärbung die (3) durch die (1) oder aber die (4) durch die (2) ersetzen. Wenn wir zunächst die (3) durch die (1) ersetzen, können zunächst weitere Umtauschungen (1,3) nötig werden. Im Extremfall müssen alle (3)en durch (1)en tauschen. Wenn auch die (1) am Anfang getauscht werden muss, haben wir zunächst nichts gewonnen, weil es immer noch vier Farben (3,2,1,4), nur in anderer Reihenfolge, sind. Doch wir sind nur gezwungen die (1) am Anfang zu tauschen, wenn des einen ununterbrochenen Weg von der (3) und der (1) gibt, wo sich beide "Farben" berühren. Es kann dann aber keinen unterbrochenen Weg mit (2) und (4) von der (2) zur (4) geben, weil sich diese Wege nicht kreuzen können. Dann können wir also die (4) am Ende in die (2) "umfärben".

von OlbersD - 13.08.12 10:03 @phantadu und @meinefinanzanlagen habt ihr den Beweis auch verstanden?

von phantadu - 13.08.12 10:09 Ganz ehrlich? Ne, hab ich nicht.

von OlbersD - 13.08.12 10:58 Also, wir füllen die leere Landkarte aus bis wir mit vier Farben aus bis wir nicht mehr weiterkommen, weil ein Land schon an vier Länder mit vier verschiedenen Farben angrenzt. Diese vier Farben seinen (1,2,3,4), in dieser Reihenfolge. Es berühren sich also (1,2), (2,3), (3,4). Aber die (3) könnte in (1) umgefärbt werden und die (4) in (2). Allerdings kann die Umfärbung nur erfolgen, wenn die bereits ausgefüllten Länder auch teilweise umgefärbt werden. Wenn die (3) in (1) umgefärbt wird, dann könnten weitere Umfärbungen erforderlich werden, wobei immer (1) und (3) getauscht werden. Es gibt dabei einen Weg durch die Länder wo getauscht werden muss. Wenn ein solcher Weg mit den Fäbungen (1) und (3) bis an die (1) am Anfang der vier ursprünglich betrachteten Länder führt, hat die Verauschung nichts gebracht, weil die Farben dieser Länder immer noch verschieden sind.

Jetzt können wir jedoch die (4) am rechten Ende in (2) umtauschen. Einen Weg mit den Farben (2) und (4) zum Land (2) kann es nicht geben, weil dieser Weg den Weg von (3) nach (1) nicht kreuzen kann.

von phantadu - 13.08.12 11:00 Und mir erzählte man immer, alle Wege führten nach Rom...

von meinefinanzanlagen - 13.08.12 11:04 Ich glaube, bin mir aber noch nicht sicher. Nehme mir vielleicht mal eine Karte.

von OlbersD - 13.08.12 11:06 Dieses Spiel können wir fortsetzen bis alle Länder ausgefüllt sind. Wir füllen die Länder also erst einmal auf gut Glück immer mit einer noch freien Farbe aus. Wir fahren fort bis ein Land bereits ausgemalte Nachbarn mit vier verschiedenen Farben hat. Dann tauschen wir (3) mit (1) und falls erforderlich noch (4) mit (2).

von OlbersD - 13.08.12 11:13 Es ist noch zu beachten, dass wir nur bereits korrekt (ohne Berührungen mit der gleichen Farbe) ausgefüllte Länder umfärben. Es kann also nicht sein, dass sich auf dem "1-3-Weg" drei Länder gegenseitig berühren.

von OlbersD - 13.08.12 11:21 Die vier Farben (1,2,3,4) können natürlich auch an einem inneren Rand liegen und (1) und (4) an den Enden dürfen sich auch berühren. Wir haben dann die hier beschriebene Situation.

www.25uhr.de

von OlbersD - 13.08.12 11:47 @phantadu nein nicht ALLE aber VIELE Wege führen nach Rom.

von phantadu - 13.08.12 11:54 Gut, denn dieses ALLE hab ich noch nie verstanden... ;D

von OlbersD - 15.08.12 09:10 Der Beweis ist aber noch nicht fertig. Wenn in den Ländern (1,2,3,4) die Farbe (3) durch (1) oder die (2) durch (4) ersetzt werden kann, könnten trotzdem insgesamt vier Farben an einer zusammenhängenden Grenze eines Landes mit fünf oder mehr Farben auftreten. Allein für Länder mit nur vier zusammenhängenden Ländern funktioniert der Beweis unmittelbar.

von OlbersD - 15.08.12 09:14 Jetzt betrachten wir funf Länder (1,2,3,4,2). Die Länder bilden einen "Kreis". Die zwei am Ende soll also ide (1) berühren. Bis auf Vertauschung der Farben und Drehungen (zyklische Vertauschung) ist dies die enzige Möglichkeit für vier unterschiedliche Farben.

von OlbersD - 15.08.12 09:20 Jetzt prüfen wir zunächst, ob die (3) in (1) getauscht werden kann. Gelingt dies gibt es nur noch drei Farben und eine fünfte Farbe ist nicht erforderlich. Ist dies nicht möglich, gibt es einen Weg mit den Ländern der Farben (1,3) vom linken Rand zur (3), eventuell auch hinten herum von (1) über die (4,2) ganz rechts. Es kann aber keinen Weg (2,4) geben und die (2) rechts neben der (1) kann in (4) getauscht werden, ohne die (4) rechts zu verändern.

von OlbersD - 15.08.12 09:25 Jetzt haben wir noch nicht gewonnen, weil es ja noch die (2) ganz rechts gibt. Jetzt können wir versuchen die (4) rechts in (1) zu tauschen. Dabei könnte aber auch die (1) links getauscht werden müssen.

von OlbersD - 15.08.12 09:46 Wenn die (1) nicht durch (4) getuscht werden kann, weil es einen Weg (4,1) zur (4) rechts gibt, dann kann die (2) eliminiert werden. Ein (2,3)-Weg kann den (1,4)-weg nicht kreuzen, weil keine Farben in (2,3) und (1,4) gemeinsam ist.

von OlbersD - 15.08.12 09:50 Zusammenfassung wir können die (3) eliminieren, wenn es keinen (1,3)-weg gibt. Wenn nicht, können wir die (2) durch (4) ersetzen. Dann können wir entweder die (1) ersetzen, weil es keinen (4,1) gibt oder wir können die (3) eliminieren, weil (1,4) und (2,3) sich nicht kreuzen können.

von OlbersD - 15.08.12 09:55 Damit können Länden mit maximal fünf Nachbarn, also bei keinem, bei zwei, drei, vier oder fünf Nachbarn, solche Länder nicht in einem minimalen Gegenbeispiel auftreten. Denn nach eventuellen Umfärbungen kann das Land am Ende immer mit einer vierten Farbe gefärbt werden. Jetzt hat aber in jeder Landkarte ein Land höchstens fünf Nachbarn. Daher kann es kein Gegenbeispiel geben und der Vierfarbensatz ist nach über hundert Jahren endlich bewiesen

von phantadu - 15.08.12 10:00 Ollala! Ich gratuliere.

von OlbersD - 16.08.12 09:09 Habt ihr den Beweis auch verstanden?

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von rebeccagodau - 16.08.12 14:23 Ähm na ja, nicht so ganz, ist mir dann doch etwas zu kompliziert...

von OlbersD - 17.08.12 23:39 Sorry, der Beweis war jetzt echt etwas zu komliziert. Es geht wirklich viel, sehr viel einfacher mit der Methode der Halbkreise am Rand

Also, wir beginnen mit einem Land am Kartenrand. Wir umrunden dann dieses Land (sagen wir Farbe 4) ) auf den angrenzenden Ländern. Die angrentenden Länder bilden nur einen "Halbkreis", weil erst durch den Rand ein geschlossener Kreis entsteht. Anschließend bilden wir einen zweiten Halbkreis inlusive Kartenrand um diese Länder herum. Diese Methode setzen wir fort bis wir alle Länder durch laufen haben. Die Färbung ist überhaupt keine Problem: Der erste Halbkreis wird mit den Farben (1,2) der zweite mit den Farben (3,4), der nächste wieder mit den Farben (1,2) gefüllt und so weiter und so fort. Der Witz bei der Sache die "Kreise" sind jetzt nur offene "Halbkreise" sind. Es spielt daher keine Rolle mehr, ob die Zahl der Länder pro Halbkreis gerade oder ungerade ist.

von OlbersD - 17.08.12 23:48 Uups, das war jetzt doch etwas zu einfach. Wenn der Rand ein Land ist, funktioniert es nicht so einfach.